Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget HTML #1

MODEL MATEMATIKA DARI SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

 SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)



Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang sama. Seperti halnya sistem persamaan linear satu variabel dan dua variabel yang telah sampean pelajari sebelumnya, sistem persamaan linear tiga variabel juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah kontekstual yang berkaitan dengan permodelan secara matematis. Untuk lebih jelasnya marilah kita menyimak ilustrasi berikut.

Seorang pedagang buah hendak memenuhi persediaan buah di kiosnya. Berdasarkan penjualan sehari-hari ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh pembeli, yaitu buah nanas, pisang, dan mangga. Namun karena keterbatasan modal dia tidak dapat sekaligus membeli buah-buahan yang banyak diminati tersebut. Oleh karenanya pedagang tersebut hanya dapat membeli jika modal sudah terkumpul. Hari pertama modal yang terkumpul adalah Rp 2.640.000,00 sehingga pedagang tersebut dapat membeli 3 dus buah nanas, 2 dus buah pisang, dan 5 dus buah mangga. Untuk hari kedua pedagang tersebut memperoleh modal Rp 1.510.000,00 dan dapat membeli 1 dus buah nanas, 3 dus buah pisang, serta 2 dus buah mangga. Sedangkan untuk hari ketiga dengan modal Rp 2.750.000,00 pedagang tersebut dapat membeli 4 dus buah nanas, 5 dus buah pisang, dan 3 dus buah mangga. Jika variabel x menunjukkan harga per dus buah nanas, variabel y menunjukkan harga per dus buah pisang dan variabel z menunjukkan harga per dus buah mangga. Bagaimana persamaan matematis yang dapat sampean bentuk dari permasalahan ini? Silahkan sampean menyimak penjelasan berikut ini.

 

Untuk menyelesaikan masalah kontekstual di atas, variabel x, y dan z sudah menunjukkan harga per dus buah masing-masing. Jika diuraikan:

x = harga per dus buah nanas

y = harga per dus buah pisang

z = harga per dus buah mangga

Maka, persamaan yang terbentuk

Hari pertama    : 3x + 2y + 5z = 2640000 persamaan (1)

Hari kedua        : x + 3y + 2z = 1510000 persamaan (2)

Hari ketiga      : 4x + 5y + 3z = 2750000 persamaan (3)

Ketiga persamaan tersebut adalah persamaan matematis yang dapat terbentuk dari

permasalahan pedagang buah di atas. Dari ilustrasi tersebut dapat dibuat sistem

persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

 sampean, mudah bukan? Apakah sampean sudah memahami penjelasan di atas? Kesimpulan bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.

Keterangan:

- Variabel adalah x, y dan z

- Koefisien adalah a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3

- Konstanta adalah d1, d2, d3

Jika d1, d2, d3 masing-masing bernilai nol, maka dinamakan sistem persamaan linear homogen, sedangkan jika tidak semuanya bernilai nol, maka sistem persamaan linearnya dinamakan sistem persamaan linear nonhomogen. Sekarang sampean pasti bertanya-tanya apa itu sistem persamaan linear homogen dan non homogen? Untuk menjawab rasa penasaran sampean silahkan membaca berbagai sumber bacaan tentang sistem persamaan linear homogen dan nonhomogen. Kegiatan membaca ini pasti sangat menarik karena sekaligus dapat meningkatkan kemampuan literasi sampean, betul demikian bukan? Jika x = x0, y = y0, z = z0 memenuhi sistem persamaan tersebut, maka akan berlaku hubungan:

Pasangan berurutan (x0 ,y0, z0) disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel dan {(x0 ,y0, z0)} disebut himpunan penyelesaian.

Berdasarkan pemaparan di atas beberapa langkah dalam menyusun model matematika

yang berbentuk SPLTV adalah sebagai berikut.

1. Menyatakan atau menerjemahkan masalah ke dalam bahasa yang mudah dipahami. Ini adalah problem real.

2. Mengidentifikasi berbagai konsep matematika dan asumsi yang digunakan dan berkaitan dengan masalah. Ini adalah problem matematika.

3. Merumuskan model matematika atau kalimat matematika yang berkaitan dengan masalah. Ini adalah proses matematisasi.

4. Merumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah tersebut.

 

Contoh 1:

Jika umur ibu, 5 tahun yang akan datang mempunyai umur 3 tahun kurangnya dari 10 kali lipat umur adik yang paling kecil. Ubahlah kalimat tersebut dalam bentuk persamaan matematika!

Alternatif Penyelesaian:

- Permasalahan di atas adalah umur ibu dan adik yang paling kecil. (Ini adalah problem real).

- Untuk menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah penyelesaiannya, maka digunakan permisalan. (Ini adalah problem matematika).

Misalkan: x = umur ibu

                 y = umur adik

- Persamaan matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi): x + 5 = 10y – 3

 

Contoh 2:

Masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari gajah, badak, dan kerbau apabila dijumlahkan adalah 1.520 hari. Masa kehamilan badak adalah 58 hari lebih lama daripada kerbau. Dua kali masa kehamilan kerbau kemudian dikurangi 162 merupakan masa kehamilan gajah. Buatlah sistem persamaan linear tiga variabel dari informasi tersebut!

Alternatif Penyelesaian:

- Permasalahan di atas adalah masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari gajah, badak, dan kerbau. (Ini adalah problem real).

- Untuk menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah penyelesaiannya, maka digunakan permisalan. (Ini adalah problem matematika).

Misalkan: p = masa kehamilan gajah

                 q = masa kehamilan badak

                 r = masa kehamilan kerbau

- Persamaan matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi):

p + q + r = 1520                            p + q + r = 1520 persamaan (1)

q = r + 58                                             q – r = 58 persamaan (2)

2r – 162 = p                                 – p + 2r = 162 persamaan (3)

 

- SPLTV nya adalah sebagai berikut:

Dari dua contoh di atas, dapatkah sampean mencari contoh-contoh lain penerapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari. Menurut sampean apakah SPLTV bermanfaat untuk dipelajari? Mengapa?

 

C. Rangkuman

1. Persamaan linear tiga variabel merupakan persamaan linear yang memiliki atau

memuat 3 jenis variabel. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel dapat

dinyatakan sebagai ax + by + cz = d, di mana a, b, c konstan dengan a, b, dan c tidak

keduanya nol.

2. Dua atau lebih persamaan linear tiga variabel dengan jenis variabel yang sama dapat

membentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan

linear tiga variabel dapat dinyatakan sebagai

3. Pasangan terurut (a b, c) adalah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel

apabila nilai a, b dan c disubtitusikan ke dalam setiap persamaan menghasilkan

pernyataan yang benar.

Post a Comment for "MODEL MATEMATIKA DARI SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL"